カーナビは数学の達人
～GPSの原理～
- #球の方程式
- #連立方程式
カーナビや携帯電話のマップ表示など皆さんの身近に使われているGPSですが，どのようにして場所を測定しているのでしょうか？
地球の周りを回っているGPS衛星は自身の位置と時間を正確に計測するシステムを持っており，その情報を電波に乗せて地球に向かって発信しています． カーナビなどのGPS受信器は，この受け取った電波の情報からGPS衛星までの距離を計算し，以下のようなGPS衛星の場所を中心とした球の方程式を作ります．このような方程式が受信可能なGPS衛星の数だけ作れます．
ここで，a,b,cは，各GPS受信器の位置です．では，GPSの測定にはいくつのGPS衛星からの電波を必要とするでしょうか？
単純には，この方程式を連立させて，3つの未知数(x,y,z)を求めれば良いので，それに合わせて，3つの衛星からの電波を受信すれば良いように思えます． しかし，高精度のGPS測量を行うためには4つ以上の電波が必要になります．これは，現実の測定機器には必ず誤差が存在するため，3つの電波を用いた計算では答えは出ますが，正確ではないためです．よって，GPS受信器は，最低4つのGPS衛星からの電波を用いて誤差を除去する計算も同時に行っています．カーナビなどのGPS受信器は，このような計算を瞬時に行い，私たちに場所を教えてくれる言わば数学の達人なのです．
以上のように，数学を用いたGPSの原理を実際に利用するには工学的な工夫が必須なのです．
（九州大学 田井 明）
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